Question

(本小題滿分14分) 設函數.
（Ⅰ）當時，求函數的單調區間和極大值點；
（Ⅱ）已知，若函數的圖象總在直線的下方，求的取值范圍；
（Ⅲ）記為函數的導函數．若，試問：在區間上是否存在（）個正數…，使得成立？請證明你的結論.

Answer 1

（Ⅰ）單調增區間為，單調減區間為，極大值點
（Ⅱ）.
（Ⅲ）在區間上不存在使得成立的（）個正數….

（1）當時，求出的導函數，令，列表研究其單調性和極值；
（2）只要求出的最大值小于即可，求出函數的導數，研究單調性可得到的最大值就是其極大值，解不等式得的取值范圍；
（3）時，，，要研究的單調性，記，其中.，即在上為增函數.又，所以，對任意的，總有，
.。故不存在。
解：（Ⅰ）當時，，
令得到，列表如下：

	＋	０	－
		極大值

所以的單調增區間為，單調減區間為
極大值點
（Ⅱ），，.
令，則.
當時，；當時，.
故為函數的唯一極大值點，
所以的最大值為=.
由題意有，解得.
所以的取值范圍為.
（Ⅲ）當時，.    記，其中.
∵當時，，∴在上為增函數，
即在上為增函數.又，
所以，對任意的，總有.
所以，
又因為，所以.
故在區間上不存在使得成立的（）個正數….