Question

（2013•松江區一模）給出四個函數：
①f（x）=x+

1

x

，
②g（x）=3^x+3^-x，
③μ（x）=x³，
④v（x）=sinx，
其中滿足條件：對任意實數x及任意正數m，都有f（-x）+f（x）=0及f（x+m）＞f（x）的函數為

③

．（寫出所有滿足條件的函數的序號）

Answer 1

分析：根據題設條件，判定函數滿足的條件是奇函數；同時是定義域上的增函數；
對①，求單調區間來判斷①是否滿足；
對②，判斷函數在（-∞，0）上的單調性，可判斷②是否滿足；
對③，根據冪函數的奇偶性與單調性可判定③是否滿足；
對④，根據正弦函數的單調區間可判斷．

解答：解：對任意實數x及任意正數m，都有f（-x）+f（x）=0⇒函數為奇函數；
滿足f（x+m）＞f（x）⇒函數是增函數；
對①是奇函數，在（0，1）遞減，∴①不正確；
對②是奇函數，（-∞，0）上遞減，∴②不正確；
對③是奇函數，同時是R上的增函數，∴③正確；
對④是奇函數，正弦函數不是R上的增函數，∴④不正確．
故答案是③

點評：本題借助考查命題的真假判斷，考查函數的性質及應用．