Question

已知平面上的動點P(x，y)及兩定點A(－2,0)，B(2,0)，直線PA，PB的斜率分別是k₁，k₂，且k₁·k₂＝－.
(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)已知直線l：y＝kx＋m與曲線C交于M，N兩點，且直線BM、BN的斜率都存在，并滿足k_BM·k_BN＝－，求證：直線l過原點．

Answer 1

解：(1)由題意得·＝－(x≠±2)，
即x²＋4y²－4＝0.
所以點P的軌跡C的方程為
＋y²＝1(x≠±2)．
(2)設M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，
聯立方程，
得(4k²＋1)x²＋8kmx＋4m²－4＝0.
所以x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.
所以y₁y₂＝(kx₁＋m)(kx₂＋m)＝k²x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²＝.
又k_BM·k_BN＝－，即·＝－，
即x₁x₂－2(x₁＋x₂)＋4＋4y₁y₂＝0.
代入并整理得m(m＋2k)＝0，即m＝0或m＝－2k，
當m＝0時，直線l恒過原點；
當m＝－2k時，直線l恒過點(2,0)，但不符合題意．
所以直線l恒過原點．

略