Question

給定 A （-2，2），已知 B 是橢圓上的動點，F 是左焦點，當|AB|+|BF|取最小值時，求B的坐標．

Answer 1

【答案】分析：由橢圓的第二定義e==可求得BN|=|BF|，利用化折為直的思想即可求得當|AB|+|BF|取最小值時，B 的坐標．
解答：解：記橢圓的半長軸、半短軸、半焦距分別為a、b、c，離心率為e．則a=5，b=4，c===3，
e==，左準線為x=-．
過點B作左準線x=-的垂線，垂足為N，過A作此準線的垂線，垂足為M．由橢圓定義，
|BN|==|BF|．
于是，|AB|+|BF|=|AB|+|BN|≥|AN|≥|AM|（定值），等號成立當且僅當B是AM與橢圓的交點時，此時B（-，2）
所以，當|AB|+|BF|取最小值時，B的坐標為（，2）．
點評：本題考查橢圓的簡單性質，突出考查橢圓第二定義的應用，考查轉化與方程思想，求得BN|=|BF|是關鍵，也是難點，屬于中檔題．