Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．
（Ⅰ）若點A的橫坐標是

3

5

，點B的縱坐標是

12

13

，求sin（α+β）的值；
（Ⅱ） 若|AB|=

3

2

，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據三角函數的定義可求cosα，sinβ，結合α、β的終邊位置可求sinα，cosβ，代入兩角和的正弦公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ可求
（Ⅱ）方法（1）由向量的減法的 四邊形法則可知|AB|=|

AB

|=|

OB

-

OA

|，對其兩邊同時平方即可求解

OA

•

OB

方法（2）由余弦定理cos∠AOB=

|OA|2+|OB|2-|AB|2

2|OA||OB|

=-

1

8

，代入向量的數量積的 定義

OA

•

OB

=|

OA

||

OB

|cos∠AOB可求

解答：解：（Ⅰ）根據三角函數的定義得，cosα=

3

5

，sinβ=

12

13

．  …（2分）
∵α的終邊在第一象限，∴sinα=

4

5

． …（3分）
∵β的終邊在第二象限，∴cosβ=-

5

13

．…（4分）
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

4

5

×(-

5

13

)+

3

5

×

12

13

=

16

65

．…（7分）
（Ⅱ）方法（1）∵|AB|=|

AB

|=|

OB

-

OA

|，…（9分）
又∵|

OB

-

OA

|2=

OB

2+

OA

2-2

OA

•

OB

=2-2

OA

•

OB

，…（11分）
∴2-2

OA

•

OB

=

9

4

，
∴

OA

•

OB

=-

1

8

．…（13分）
方法（2）∵cos∠AOB=

|OA|2+|OB|2-|AB|2

2|OA||OB|

=-

1

8

，…（10分）
∴

OA

•

OB

=|

OA

||

OB

|cos∠AOB=-

1

8

． …（13分）

點評：本題主要考查了三角函數的 定義、兩角和 的正弦公式及向量的數量積的性質及數量積的定義的簡單應用．