Question

已知函數+1，其中a為實數：
（Ⅰ）若 a=3，求證f（x）在定義域內為增函數；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值為，求a的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）當a=3時，∵f（x）=lnx-+1，定義域為（0，+∞），x＞0，
∴
∵x＞0，
∴＞0，
∴f（x）在定義域（0，+∞）內為增函數．
（Ⅱ）∵+1，
∴+，
由+=0，得x=-a．
令f′（x）＜0得x＜-a，令f′（x）＞0，得x＞-a，
①-a≤1，即a≥-1時，f（x）在[1，e]上單增，
f（x）最小值=f（1）=1-a=，a=-＜-1，不符題意，舍；
②-a≥e，即a≤-e時，f（x）在[1，e]上單減，
f（x）最小值=f（e）=2-=，a=-＞-e，不符題意，舍；
③1＜-a＜e，即-e＜a＜-1時，f（x）在[1，-a]上單減，在[-a，e]上單增，
f（x）最小值=f（-a）=ln（-a）+2=，a=-e滿足；
綜上a=-e．
分析：（Ⅰ）當a=3時，由f（x）=lnx-+1，定義域為（0，+∞），x＞0，知，由此能夠證明f（x）在定義域（0，+∞）內為增函數．
（Ⅱ）由+1，知+，令f′（x）=0得x=-a，以-a在[1，e]內，左，右分為三類來討論，函數在[1，e]上的單調性，進而求出最值，令其等于32，求出a的值，由范圍來取舍，得出a的值．
點評：本題考查利用導數求閉區間上函數最值的應用，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值，要確定函數的單調性，注意分類討論思想的應用，掌握不等式恒成立時所取的條件．