Question

已知a＞0，bR，函數．

(Ⅰ)證明：當0≤x≤1時，

(ⅰ)函數的最大值為|2a－b|﹢a；

(ⅱ) ＋|2a－b|﹢a≥0；

(Ⅱ) 若﹣1≤≤1對x[0，1]恒成立，求a＋b的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 見解析；(Ⅱ) ．

【解析】本題主要考察不等式，導數，單調性，線性規劃等知識點及綜合運用能力。

(Ⅰ)

(ⅰ)．

當b≤0時，＞0在0≤x≤1上恒成立，

此時的最大值為：＝|2a－b|﹢a；

當b＞0時，在0≤x≤1上的正負性不能判斷，

此時的最大值為：

＝|2a－b|﹢a；

綜上所述：函數在0≤x≤1上的最大值為|2a－b|﹢a；

(ⅱ) 要證＋|2a－b|﹢a≥0，即證＝﹣≤|2a－b|﹢a．

亦即證在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a，

∵，∴令．

當b≤0時，＜0在0≤x≤1上恒成立，

此時的最大值為：＝|2a－b|﹢a；

當b＜0時，在0≤x≤1上的正負性不能判斷，

≤|2a－b|﹢a；

綜上所述：函數在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a－b|﹢a．

即＋|2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函數在0≤x≤1上的最大值為|2a－b|﹢a，

且函數在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a－b|﹢a)要大．

∵﹣1≤≤1對x[0，1]恒成立，

∴|2a－b|﹢a≤1．

取b為縱軸，a為橫軸．

則可行域為：和，目標函數為z＝a＋b．

作圖如下：

由圖易得：當目標函數為z＝a＋b過P(1，2)時，有，．

∴所求a＋b的取值范圍為：．