Question

已知函數.
（Ⅰ）當時，討論函數在[上的單調性；
（Ⅱ）如果，是函數的兩個零點，為函數的導數，證明：.

Answer 1

（Ⅰ）當時，函數在上單調遞減；（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）不是常見的函數的單調性問題，可以采用求導得方法.通過定導數的正負來確定單調性.在本題中，求導得，但發現還是無法直接判斷其正負.這時注意到在上單調遞減，可以得到其最大值，即，而，所以，從而得函數在上單調遞減；（Ⅱ）通過，是函數的兩個零點把用表示出來，代入中，由分成與兩段分別定其正負.易知為負，則化成，再將視為整體，通過研究的單調性確定的正負，從而最終得到.本題中通過求導來研究的單調性，由其最值確定的正負.其中要注意的定義域為，從而這個隱含范圍.
試題解析：（Ⅰ），     1分
易知在上單調遞減，        2分
∴當時，.      3分
當時，在上恒成立.
∴當時，函數在上單調遞減.    5分
（Ⅱ），是函數的兩個零點，
  （1）
  （2）    6分
由（2）-（1）得：
，    8分
，所以
，
將代入化簡得：    9分
因為，故只要研究的符號
    10分
令，則，且，
令，                       12分
所以，
當時，恒成立，所以在上單調遞增，所以當時，
，所以，又，故，所以，即，又
，所以.    14分