Question

已知矩形紙片ABCD中，AB=6cm，AD=12cm，將矩形紙片的右下角折起，使得該角的頂點B落在矩形的邊AD上，且折痕MN的端點M，N分別位于邊AB，BC上，設∠MNB=θ，sinθ=t，MN長度為l．
（1）試將l表示為t的函數l=f（t），并給出這個函數的定義域；
（2）判斷這個函數的單調性，并給出證明；
（3）求l的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出AM、MB，利用AB=6cm，可求函數關系式，利用BN≤12，BM≤6，可得函數的定義域；
（2）求導數，利用導數的正負，確定函數的單調性；
（2）由（2）可得函數的極值，極值就是最值，即可求得結論．

解答：解：（1）由題意，MB=lsinθ，AM=l•sinθcos2θ，
∵AB=6cm，∴lsinθ+l•sinθcos2θ=6，
∴l=

6

sinθ+sinθcos2θ

=

3

sinθcos2θ

∵sinθ=t，∴l=

3

t(1-t2)

∵BN=lcosθ=

3

sinθcosθ

≤12，BM=lsinθ=

3

cos2θ

≤6
∴sin2θ≥

1

2

，cos2θ≥0
∵0＜θ＜

π

2

，∴

π

12

≤θ≤

π

4

∴

6 - 2

4

≤sinθ≤

2

2

，
∴函數的定義域為[

6 - 2

4

，

2

2

]；
（2）函數在[

6 - 2

4

，

3

3

]上單調遞減，在[

3

3

，

2

2

]上單調遞增，證明如下：
求導數可得l′=

3(3t2-1)

[t(1-t2)]2

，令l′=0可得t=±

3

3

∴函數在[

6 - 2

4

，

3

3

]上單調遞減，在[

3

3

，

2

2

]上單調遞增
（3）由（2）可知，當t=

3

3

時，l取得最小值為

9 3

2

．

點評：本題考查函數模型的構建，考查三角函數知識，考查導數知識的運用，正確確定函數的解析式是關鍵．