Question

在的展開式中，把，，，…，叫做三項式的次系數列．
（Ⅰ）例如三項式的1次系數列是1，1，1，填空：
三項式的2次系數列是_________ ；
三項式的3次系數列是_________ ．
（Ⅱ）二項式的展開式中，系數可用楊輝三角形數陣表示，如下

①當時，類似楊輝三角形數陣表，請列出三項式的次系數列的數陣表；
②由楊輝三角形數陣表中可得出性質：，類似的請用三項式的次系數表示（無須證明）；
（Ⅲ）試用二項式系數（組合數）表示．

Answer 1

（Ⅰ）三項式的2次系數列是1,2,3,2,1；三項式的3此系數列是1,3,6,7,6,3,1.
（Ⅱ）①三項式的次系數的數陣表如下：

②觀察得：.
（Ⅲ）.

解析試題分析：（Ⅰ）由，求得2次系數列．同理根據，求得3次系數列．（Ⅱ）①②如圖所示：根據三項式的2次系數列和3次系數列的定義，可得結論．
（Ⅲ）根據三項式的2次系數列和3次系數列的定義，再利用組合數公式的性質，可用二項式系數表示
試題解析：（Ⅰ）三項式的2次系數列是1,2,3,2,1；三項式的3此系數列是1,3,6,7,6,3,1.
（Ⅱ）①三項式的次系數的數陣表如下：

②觀察得：.
（Ⅲ）因為，由（Ⅱ）②得，
，
，
，……，
所以，又，
所以由得，.
所以有，，，……，
所以將個式子累加得.
又，所以.
考點：二項式系數的性質．