Question

已知集合，其中，表示和中所有不同值的個數．

（Ⅰ）設集合，，分別求和；

（Ⅱ）若集合，求證：；

（Ⅲ）是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由？

Answer 1

解：（Ⅰ）由

         得.

         由

         得.--------------------------------------------------5分

（Ⅱ）證明：因為最多有個值，所以

又集合，

任取

當時,不妨設，則，

即.

當時，.

因此，當且僅當時， .

即所有的值兩兩不同，

所以   -----------------------------------------------9分

 （Ⅲ） 存在最小值，且最小值為．

不妨設可得

所以中至少有個不同的數，即

事實上，設成等差數列，

考慮，根據等差數列的性質，

當時，；

當時，；

因此每個和等于中的一個，或者等于中的一個.

所以對這樣的,所以的最小值為.