Question

某投資公司投資甲、乙兩個項目所獲得的利潤分別是P（億元）和Q（億元），經驗表明，投資額t（億元）與利潤之間的關系有公式P=

1

6

3t

，Q=

1

8

t．今該公司準備將5億元的資金投入到甲、乙兩個項目，問如何分配這筆資金才能使公司獲得的總利潤 最大，最大利潤為多少？

Answer 1

分析：總利潤是P與Q之和，根據題意建立總利潤關于資金為x的函數關系，然后根據關系式求最大值，利用換元法轉換為二次函數在區間上的最值問題．

解答：解：設投入到甲項目的資金為x（億元），則投入到乙項目的資金為5-x（億元），用y表示公司獲得的總利潤，依題意有：y=

1

6

3x

+

1

8

(5-x)(0≤x≤5)（5分）
令t=

3x

?y=-

1

24

(t-2)2+

19

24

(0≤t≤

15

)
當t=2時，ymax=

19

24

（億元）
此時x=

4

3

（億元）
答：投入甲項目

4

3

（億元），投入乙項目

11

3

（億元），才能使總利潤最大，最大利潤是

19

24

（億元）（12分）

點評：利潤最大的問題，根據題意列出符號條件的函數關系式，選擇合適的方法求最值即可．訓練靈活變形轉化的能力．