Question

(本題滿分12分)
已知函數f(x)=x³+ax²+(a+6)x+b(a,b∈R).
(1)若函數f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是3，求a,b的值；
(2)若f(x)為R上的單調遞增函數，求a的取值范圍.

Answer 1

解：（1）由函數f(x)的圖象過原點，得b="0," ………………………………1分
又f′(x)=3x²+2ax+(a+6), …………………………………………………3分
f(x)在原點處的切線斜率是3，則a+6=3,所以a="-3." ………………………6分
（2）若f(x)為R上的單調遞增函數，則f′(x) 在R上恒成立.
即3x²+2ax+(a+6)≥0在R上恒成立，………………………………………8分
因此Δ≤0，有4a²-12(a+6) ≤0    ………………………………………10分
即a²-3a-18 ≤0解得……………………………………………12分

解析試題分析：（Ⅰ）根據函數f（x）的圖象過點P（1，2）與函數圖象在點P處的切線斜率為8，建立關于a和b的方程組，解之即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x），f(x)為R上的單調遞增函數則令f'（x）0即可求出a的范圍．
考點：本試題主要考查了導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，以及利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，同時考查了分析與解決問題的綜合能力，屬于基礎題。
點評：解決該試題的關鍵對于導數幾何意義的運用和單調遞增時要滿足到導函數恒大于等于零來得到。