Question

（本小題滿分14分）已知函數對于任意都有且當時，有。
（1）  判斷的奇偶性與單調性，并證明你的結論；
（2）  設不等式對于一切恒成立，求整數的最小值。

Answer 1

解：（1）令，得，解得
令得，
所以，是奇函數。                              ………………………3分
設，則，由條件得，
因此，
所以，在上為減函數。                ………………………6分
（2）由，得，因此，，所以原不等式可化為；
①當時，由數學歸納法可證得
下面用數學歸納法證明。（）
ⅰ。當時，左邊==右邊，等式成立。
ⅱ。假設時等式成立，即。
當時，

這說明當時等式也成立。
根據ⅰ、ⅱ可知，對任意，均有成立。
②當時，式顯示成立；
③當時，由奇函數性質可證明式也成立；
所以，有，
由單調性得，對于恒成立。………………10分
解法一：由恒成立，令。
由基本不等式可得，因此，
又由，得。                                  ………………14分
解法二：設，
對于恒成立。
①若，此時無解；
②若。
③若。
綜上可得：又，所以。              ………………14分
解法三:由已知易得，令，得，因此，即，又由于可取到，所以。                            ………………14分

略