Question

用0,1,2,3,4,5,6構成無重復數字的七位數,其中

(1)能被25整除的數有多少個?

(2)設x,y,z分別表示個位,十位,百位上的數字,滿足x＜y＜z的數有多少個?

(3)偶數必須相鄰的數有多少個?

Answer 1

解:(1)能被25整除的數的特征是后兩位數是25的倍數，分兩類討論.

第一類:×××××25類型的七位數;

第二類:×××××50類型的七位數.

在第一類中,0是特殊元素,先安排0,再安排其他4個數,有N₁=4×=96個.

在第二類中,沒有特殊元素,于是有N₂===120個.

根據分類計數原理,共有N=N₁+N₂=96+120=216個可以被25整除的七位數.

(2)百萬位是特殊位置.

分兩步完成:

第一步,先安排百萬位上的數字,有6種方法;

第二步,對剩余的6個數進行排列.

又因為x＜y＜z,

所以有=6×5×4=120種.

根據分步計數原理,共有N=6×120=720個滿足條件的七位數.

(3)采用間接法.

{偶數相鄰的七位數}={偶數相鄰的七個數的排列}-{0在首位且偶數相鄰的七個數的排列}.

先求偶數相鄰的排列數.

視偶數為“一”個元素與1,3,5進行排列,而后,0,2,4,6之間再進行內部調整,所以有·=576個.

再求0在首位且偶數相鄰的排列數.

視偶數為“一”個元素與1,3,5進行排列,偶數必在1,3,5的左側.而后,2,4,6之間再進行內部調整.

所以有·=36個.

所以偶數必須相鄰的數共有N=576-36=540個.