Question

橢圓E的中心在原點O，焦點在x軸上，離心率e=

2 3

，過點C（-1，0）的直線l交橢圓于A、B兩點，且滿足：

CA

=λ

BC

（λ≥2）．
（1）若λ為常數，試用直線l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面積；
（2）若λ為常數，當三角形OAB的面積取得最大值時，求橢圓E的方程；
（3）若λ變化，且λ=k²+1，試問：實數λ和直線l的斜率k（k∈R）分別為何值時，橢圓E的短半軸長取得最大值？并求出此時的橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）先設出橢圓的方程，根據離心率求得a和c的關系式，進而根據a²=b²+c²得a和b的關系，根據直線L與橢圓相交，且

CA

=λ

BC

，進而求得（x₁+1，y₁）=λ（-1-x₂，-y₂），聯立方程組，把y=k（x+1）代入橢圓方程整理后表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而利用弦長公式表示出三角形OAB的面積，聯立方程求得三角形OAB的面積．
（2）根據（1）中的三角形OAB的面積，利用基本不等式求得求得k=±

3

3

面積最小，推斷出此時x₁+x₂=-1，進而求得b和λ的關系，代入橢圓方程求得，橢圓的標準方程．
（3）把（1）中的方程②③聯立求得x₁和x₂的表達式，然后代入方程④中，整理求得k和λ的關系式，利用基本不等式求得橢圓短半軸長取得最大值時，k的值，則橢圓的方程可得．

解答：解：設橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由e=

c

a

=

2 3

及a²=b²+c²得a²=3b²，
故橢圓方程為x²+3y²=3b²①
（1）∵直線L：y=k（x+1）交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
并且

CA

=λ

BC

（λ≥2）
∴（x₁+1，y₁）=λ（-1-x₂，-y₂），
即

x1+1=-λ(x2+1) y1=-λy2

②
把y=k（x+1）代入橢圓方程，
得：（3k²+1）x²+6k²x+3k²-3b²=0，且△=k²（3b²-1）+b²＞0，
∴x1+x2=-

6k2

3k2+1

③x1x2=

3k2-3b2

3k2+1

④
∴S△OAB=

1

2

1+k2

|x1-x2|

|k|

1+k2

=

1

2

|k||x1-x2|=

|λ+1|

2

|k||x2+1|
聯立②、③得：x2+1=

2

(1-λ)(3k2+1)

∴S△OAB=

λ+1

λ-1

•

|k|

3k2+1

(k≠0)
（2）S△OAB=

λ+1

λ-1

•

|k|

3k2+1

=

λ+1

λ-1

•

1

3|k|+ 1 |k|

≤

λ+1

λ-1

•

1

2 3

(λ≥2)
當且僅當3|k|=

1

|k|

即k=±

3

3

時，S_△OAB取得最大值．
此時x₁+x₂=-1，
又∵x₁+1=-λ（x₂+1），
∴x1=

1

λ-1

，x2=

-λ

λ-1

，代入④得：3b2=

λ2+1

(λ-1)2

故此時橢圓的方程為x2+3y2=

λ2+1

(λ-1)2

(λ≥2)
（3）由②．③聯立得：x1=

-2λ

(1-λ)(3k2+1)

-1，x2=

2

(1-λ)(3k2+1)

-1，將x₁．x₂代入④得：3b2=

4λ

(λ-1)2(3k2+1)

+1，
由k²=λ-1
得：3b2=

4λ

(λ-1)2(3λ-2)

+1=

4

3

[

1

(λ-1)2

+

2

(λ-1)2(3λ-2)

]+1
易知：當λ≥2時，3b²是λ的減函數，
故當λ=2時，（3b²）_max=3．
故當λ=2，
k=±1時，橢圓短半軸長取得最大值，此時橢圓方程為x²+3y²=3．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生對問題的綜合分析和基本的運算能力．