Question

如圖，已知直線(xiàn)OP₁、OP₂為雙曲線(xiàn)E的漸近線(xiàn)，△P₁OP₂的面積為,在雙曲線(xiàn)E上有一點(diǎn)P為線(xiàn)段P₁P₂的一個(gè)三等分點(diǎn)，且雙曲線(xiàn)的離心率為.

（1）若P₁、P₂點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂,則x₁、x₂之間滿(mǎn)足怎樣的關(guān)系？并證明你結(jié)論；

（2）求雙曲線(xiàn)E的方程；

（3）設(shè)雙曲線(xiàn)E上的動(dòng)點(diǎn)M，兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，若MF₁與MF₂的夾角為鈍角，求M點(diǎn)橫坐標(biāo)x₀的取值范圍.

Answer 1

解:(1)由e²==1+()²=()²,得=.

∴兩漸近線(xiàn)OP₁、OP₂的方程分別為y=x和y=-x.

設(shè)點(diǎn)P₁（x₁,x₁）、點(diǎn)P₂(x₂,-x).

設(shè)∠P₁OP₂=2α,則tanα=,∴sin2α=

cos2α=

又S_△OP1P2=||||sin2α=·||||=,

∴||||=.

∴·=||||cos2α=×()==x₁x₂x₁x₂=·x₁x₂,即x₁x₂=.

(2)由點(diǎn)P為線(xiàn)段的一個(gè)三等分點(diǎn)可知，點(diǎn)P分所成的比λ=2,

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（）,即().

設(shè)P(x,y),則x=且y=,即x₁+2x₂=3x且x₁-2x₂=2y,

∴(3x)²-(2y)²=(x₁+2x₂)²-(x₁-2x₂)²=8x₁x₂=36,即=1.

(3)由(2)知c=,∴F₁(,0),

F₂(,0),y₀²=-9,

∴·=||||cos＜,＞=(-x₀,-y₀)·(-x₀,-y₀)=x₀²-13+y₀²=x₀²-13+-9=-22＜0,即|x₀|＜.

又|x₀|＞2,

故x₀的取值范圍為（-，-2）∪(2,).