Question

（本題滿分12分）設(shè)正項數(shù)列的前項和，且滿足.
（Ⅰ）計算的值，猜想的通項公式，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)是數(shù)列的前項和，證明：.

Answer 1

（Ⅰ）；；.猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明；（Ⅱ）先利用數(shù)列知識求和，然后利用放縮法證明或者利用數(shù)學(xué)歸納法證明

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，，得；，得；
，得.猜想                2’
證明：（ⅰ）當(dāng)n=1時，顯然成立.
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時，                       1’
則當(dāng)n=k+1時，
結(jié)合，解得                   2’
于是對于一切的自然數(shù)，都有             1’
（Ⅱ）證法一：因為，         3’
  .3’
證法二：數(shù)學(xué)歸納法
證明：（ⅰ）當(dāng)n=1時，，，           1’
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時，            1’
則當(dāng)n=k+1時，
要證：
只需證：
由于
所以               3’
于是對于一切的自然數(shù)，都有               1’
點(diǎn)評：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。