Question

已知橢圓的中心為原點，離心率，其一個焦點在拋物線的準線上，若拋物線與直線相切．

（1）求該橢圓的標準方程；

（2）當點在橢圓上運動時，設動點的運動軌跡為．若點滿足：，其中是上的點，直線與的斜率之積為，試說明：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）存在兩個定點，且為橢圓的兩個焦點，使得為定值，其坐標為．

【解析】

試題分析：（1）根據拋物線與直線相切，聯立方程組并化簡， 利用，求得的值，進一步可得；

應用離心率求，得解.

（2）設，，，利用“代入法”求得的軌跡方程為：.

由及確定的坐標關系，

導出，作出判斷.

試題解析：

（1）由，

拋物線與直線相切，

2分

拋物線的方程為：，其準線方程為：，

離心率， ，

故橢圓的標準方程為 5分

（2）設，，

則

當點在橢圓上運動時，動點的運動軌跡

的軌跡方程為： 7分

由得

設分別為直線，的斜率，由題設條件知

因此 9分

因為點在橢圓上，

所以，

故

所以，從而可知：點是橢圓上的點，

存在兩個定點，且為橢圓的兩個焦點，使得為定值，其坐標為． 13分

考點：橢圓的幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系，平面向量的線性運算.