Question

若a＞0，b＞0，2a+b=2，則下列不等式：
①ab≤1；②

2a

+

b

≤2；③a²+b²≥2；④8a³+b³≥3；⑤

1

a

+

1

b

≥2．
對一切滿足條件的a，b成立的是（　　）

A．①②④

B．①②⑤

C．①④⑤

D．②③④

Answer 1

①∵a＞0，b＞0，2a+b=2，∴2≥2

2ab

，∴ab≤

1

2

＜1，因此成立；
②∵a＞0，b＞0，2a+b=2，∴(

2a

+

b

)2≤2[(

2a

)2+(

b

)2]=2（2a+b）=4，∴

2a

+

b

≤2，故成立；
③∵a²+b²=a²+（2-2a）²=5(a-

4

5

)2+

4

5

≥

4

5

，當且僅當a=

4

5

時取等號，可知③不成立．
④由①可知：2ab＜1，∴-6ab＞-3．
∴8a³+b³=（2a+b）（4a²+b²-2ab）=（2a+b）[（2a+b）²-6ab]=2（4-6ab）＞2×（4+3）=14，故④不成立；
⑤∵a＞0，b＞0，2a+b=2，∴

1

a

+

1

b

=

1

2

(2a+b)(

1

a

+

1

b

)=

1

2

(3+

b

a

+

2a

b

)≥

1

2

(3+2

b a • 2a b

)=

1

2

(3+2

2

)，當且僅當b=

2

a=2(

2

-1)時取等號．
而

1

2

(3+2

2

)＞2，因此⑤成立．
綜上可知：只有①②⑤正確．
故選B．