Question

（2007•浦東新區二模）如圖，已知點P在焦點為F₁、F₂的橢圓上運動，則與△PF₁F₂的邊PF₂相切，且與邊F₁F₂，F₁P的延長線相切的圓的圓心M一定在（　　）

A．一條直線上

B．一個圓上

C．一個橢圓上

D．一條拋物線上

Answer 1

分析：設出圓與三角形三邊及其延長線的切點，利用切線定理得到線段的相等關系，最后轉化為線段F₁A的長度為定值，說明切點為頂點A，由此可得結論．

解答：解：如圖，

設圓M與F₁F₂，F₁P，PF₂分別相切于A，B，C
由切線定理得：PB=PC，F₂A=F₂C，F₁B=F₁A，
因為P在橢圓上
∴PF₁+PF₂=定值2a
∵F₁B+F₁A=F₁P+PB+F₁F₂+F₂A
=F₁P+F₂P+F₁F₂=2a+2c為定值．
∴BF₁=AF₁=a+c
∴切點A（a，0）
∴C在過A垂直于橢圓所在軸的直線上．

點評：本題考查了圓錐曲線的軌跡問題，考查了等價轉化思想方法，屬中檔題．