Question

已知定點，曲線C是使為定值的點的軌跡，曲線過點.

（1）求曲線的方程；

（2）直線過點，且與曲線交于，當的面積取得最大值時，求直線的方程；

（3）設點是曲線上除長軸端點外的任一點，連接、，設的角平分線交曲線的長軸于點，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）和；（3）.

【解析】

試題分析：（1）依題意并結合橢圓的定義，先判斷出曲線的軌跡是以原點為中心，以為焦點的橢圓，從而得出橢圓中參數的值，由計算出參數的值，最后由計算出的取值即可得到曲線的方程；（2）設點，聯立直線與橢圓的方程，消去得到，從而由二次方程根與系數的關系得到，再由弦長公式計算出，再計算出點到直線的距離，由公式計算出三角形的面積（含參數），結合基本不等式可確定面積最大時的值，從而可確定直線方程；（3）設，由角平分線可得=，化簡并代入坐標進行運算，即可得出，然后根據，可確定的取值范圍.

試題解析：（1） 2分

曲線C為以原點為中心，為焦點的橢圓

設其長半軸為,短半軸為,半焦距為，則，

曲線C的方程為 4分

（2）設直線的為代入橢圓方程，得

，計算并判斷得，

設,得

到直線的距離，設，則

當時，面積最大

的面積取得最大值時，直線l的方程為：

和 9分

（3）由題意可知：=,= 10分

設其中，將向量坐標代入并化簡得：

m（， 12分

因為，所以， 13分

而，所以 14分

考點：1.軌跡問題；2.橢圓及其標準方程；3.直線與圓錐曲線的綜合問題.