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（本小題滿分14分）如圖，在四面體A?BCD中，AD^平面BCD，BC^CD，AD=2，BD=2．M是AD的中點.

（1）證明：平面ABC平面ADC；
（2）若ÐBDC=60°，求二面角C?BM?D的大小．
(1)見解析(2)

試題分析：(1)證明面面垂直幾何法就要證線面垂直,要證線面垂直就要證線線垂直;線線、線面、面面垂直之間相互轉化. 由題意知從點出發的三條件直線兩兩垂直,從而,又在平面內,所以可證得平面ABC平面ADC.證明面面垂直向量法可證法向量垂直,由題意知從點出發的三條件直線兩兩垂直,可以建立空間直角坐標系.
(2)求二面角可用兩種向量法(面向量和法向量)或幾何法,面向量法即在兩個半平面內分別從頂點出發與棱垂直的兩個向量所成的角.幾何法(三垂線法)重點是找到二面角的平面角,①在幾何體內找第三個平面與二面角的兩個半平都垂直,交線所成角即為平面角;如果找不到可以退而求其次,找第三個平面與二面角的其中一個半平垂直.②與另外一個半交于點,過點作交線的垂線③過點作棱的垂線④連所得到的為二面角的平面角⑤在直角三角形求角.用法向量法求二面角不容易判斷所求出的是二面角還是其補角,所以盡量不用它.
試題解析：
（1） 
又     （4分）
又         （6分）

（2）作CG^BD于點G，作GH^BM于點HG，連接CH.   （8分）
 
又 
又
又


所以ÐCHG為二面角的平面角.      （10分）
在Rt△BCD中，
CD=BD=，CG=CD，BG=BC
在Rt△BDM中，HG==
在Rt△CHG中，tanÐCHG=
所以即二面角C-BM-D的大小為60°.     （14分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，點D是AB的中點.

（1）求證：∥平面；
（2）求異面直線與所成角的余弦值.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，，，為的中點，為的中點，且為正三角形.

（1）求證：平面；
（2）若，，求點到平面的距離．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，垂直于底面，分別為的中點．

（1）求證：；
（2）求點到平面的距離．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AD∥BC，∠BCD=900，PA=PB，PC=PD.

(I) 試判斷直線CD與平面PAD是否垂直，并簡述理由；
（II）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（III）如果CD=AD+BC，二面角P-CB-A等于600，求二面角P-CD-A的大小.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝，且AB＝2AD＝2DC＝2PD＝4，E為PA的中點．

（1）證明：DE∥平面PBC；
（2）證明：DE⊥平面PAB．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，在直角梯形中，，，，. 把沿對角線折起到的位置,如圖2所示,使得點在平面上的正投影恰好落在線段上，連接,點分別為線段的中點．

(1)求證：平面平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)在棱上是否存在一點,使得到點四點的距離相等？請說明理由.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四面體中，、分別是、的中點，

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值；
（Ⅲ）求點到平面的距離．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知中，，，為的中點，分別在線段上的動點，且，交于，把沿折起，如下圖所示，

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）當二面角為直二面角時，是否存在點，使得直線與平面所成的角為，若存在求的長，若不存在說明理由。

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