Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點D是AB的中點.

（1）求證：∥平面；
（2）求異面直線與所成角的余弦值.

Answer 1

（1）證明見解析;（2）.

試題分析：（1）設BC₁與CB₁交于點O，連接OD，利用三角形中位線性質(zhì)，證明OD∥AC₁，利用線面平行的判定，可得AC₁∥平面CDB₁;（2）過C作CE⊥AB于E，連接C₁E，證明∠CEC₁為二面角C₁-AB-C的平面角，從而可求二面角C₁-AB-C的余弦值．
試題解析：（1）證明：設BC₁與CB₁交于點O，則O為BC₁的中點,
在△ABC₁中，連接OD，
∵D，O分別為AB，BC₁的中點，
∴OD為△ABC₁的中位線，
∴OD∥AC₁，
又∵AC₁Ú平面CDB₁，OD?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁;
（2）解：過C作CE⊥AB于E，連接C₁E,
∵CC₁⊥底面ABC，
∴C₁E⊥AB,
∴∠CEC₁為二面角C₁-AB-C的平面角,
在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，
∴CE=,
在Rt△CC₁E中，tan∠C₁EC=4:=,
∴cos∠C₁EC=,
∴二面角C1-AB-C的余弦值為．