Question

（本小題滿分14分）已知定義域為的函數是奇函數                   
⑴求函數的解析式；
⑵判斷并證明函數的單調性；
⑶若對于任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.                                             

Answer 1

（1）（2）減函數，證明見解析（3）

解析試題分析：⑴∵為奇函數，
即 ， 解得
所以，檢驗得 ，滿足條件.                      …4分
⑵為上的減函數
證明：設
則 
∵ ，     
    即 
 為減函數                                                     …8分
⑶∵,
∵為奇函數,,
則.
又為減函數  即恒成立,
時顯然不恒成立，
所以                                           …14分
考點：本小題主要考查利用奇偶性求函數解析式，判斷并證明函數的單調性，利用函數的單調性求解抽象不等式以及恒成立問題.
點評：如果奇函數在處有意義，則這一性質在解題時可以簡化運算，特別好用，另外在用定義證明單調性時一定要把結果化到最簡，盡量不要用已知函數的單調性來判斷未知函數的單調性.解抽象不等式，關鍵是利用單調性“脫去”外層符號，得出具體的不等式，這一過程中要注意定義域是否有影響.