Question

已知二次函數的圖象經過坐標原點，其導函數為,數列的前項和為,點均在函數的圖像上.

（1）求的解析式；

（2）求數列的通項公式；

（3）設,是數列的前n項和,求使得對所有都成立的最小正整數.

 

Answer 1

【答案】

（1）  （2）  （3）10

【解析】

試題分析：（1）利用導函數及待定系數法求解；（2）利用與的關系求通項公式，要注意對進行討論；（3）數列求和的方法由數列的通項公式決定.常用的方法有：公式求和法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、分組轉化法等。先利用裂項相消法求和，再求其最大值，就得到的取值范圍.

試題解析：（1）依題意設二次函數，則.            1分

由于，得：                                 2分

所以.                                                 3分

（2）由點均在函數的圖像上，又，

所以.                                                      4分

當時，                                       5分

當時，        7分

所以，                                             8分

（3）由（2）得知＝          9分

＝，                                  11分

故＝

＝.                                       12分

要使（）成立，需要滿足≤，13分

即，所以滿足要求的最小正整數m為10.                               14分

考點：1.導數運算  2.通項公式、前n項和的求法   3.函數（數列）最值的求法