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在直角坐標系xoy中，點P到兩點(-
3
，0)，(
3
，0)的距離之和等于4，設點P的軌跡為C，直線y=kx+2與C交于不同的兩點A，B．
（1）寫出C的方程；
（2）求證：-1＜
OA
•
OB
＜
13
4
．
（1）由題意可得，點P是以P(-
3
，0)，(
3
，0)為焦點的橢圓，且2a=4
∴a=2，c=
3
，b2=a2-c2=1
曲線C的方程為
x2
4
+y2=1
（2）聯立方程
y=kx+2
x2
4
+y2=1
可得（1+4k2）x2+16kx+12=0
由△=4k2-3＞0可得k2＞
3
4

設A（x1，y1）B（x2，y2） x1+x2=-
16k
1+4k2
x1x2=
12
1+4k2

∵
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4
=(1+k2)•
12
1+4k2
+2k•
-16k
1+4k2
+4=
16-4k2
1+4k2

令y=
16-4k2
1+4k2
則可得k2=
16-y
4(y+1)
＞
3
4

∴-1＜y＜
13
4
即-1＜
OA
•
OB
＜
13
4
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經過點（0，1），離心率e=
3
2
．
（l）求橢圓C的方程；
（2）設直線x=my+1與橢圓C交于A，B兩點，點A關于x軸的對稱點為A′（A′與B不重合），則直線A′B與x軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點坐標，并證明你的結論；若不是，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

若方程
x2
25-k
+
y2
k-9
=1表示橢圓，則k的取值范圍是（　　）
A．（9，17）B．（9，25）C．（9，17）∪（17，25）D．（-∞，9）∪（25，+∞）

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，F是中心在原點、焦點在x軸上的橢圓C的右焦點，\直線l：x=4是橢圓C的右準線，F到直線l的距離等于3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P是橢圓C上動點，PM⊥l，垂足為M．是否存在點P，使得△FPM為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓過點（3，0）且離心率為
6
3
，則橢圓標準方程為______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

若方程
x2
m-1
+
y2
3-m
=1表示焦點在y軸上的橢圓，則實數m的取值范圍為______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
2
+y2=1的左右焦點分別為F1，F2，若過點P（0，-2）及F1的直線交橢圓于A，B兩點，求△ABF2的面積．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

請閱讀以下材料，然后解決問題：
①設橢圓的長半軸長為m短半軸長為b，則橢圓的面積為πab
②我們把由半橢圓C1：
y2
b2
+
x2
c2
=1（x≤0）與半橢圓C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（x≥0）合成的曲線稱作“果圓”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0
如圖，設點F0，F1，F2是相應橢圓的焦點，A1，A2和B1，B2是“果圓”與x，y軸的交點，若△F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，則上述“果圓”的面積為：______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F2，P是橢圓上的一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比數列，則橢圓的離心率的取值范圍為（　�。�
A．[
1
2
，
2
2
]		B．[
5
-1，
1
2
]		C．[
2
-1，
1
2
]		D．[
5
5
，
1
2
]

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同步練習冊答案