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如圖，F(xiàn)是中心在原點、焦點在x軸上的橢圓C的右焦點，\直線l：x=4是橢圓C的右準線，F(xiàn)到直線l的距離等于3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P是橢圓C上動點，PM⊥l，垂足為M．是否存在點P，使得△FPM為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．
（1）設橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
由已知，得
a2
c
=4
a2
c
-c=3
∴
a=2
c=1
∴b=
3
．
所以橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）由
PF
PM
=e=
1
2
，得PF=
1
2
PM．∴PF≠PM．
①若PF=FM，則PF+FM=PM，與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾，∴PF不可能與PM相等．
②若FM=PM，設P（x，y）（x≠±2），則M（4，y）．
∴
32+y2
=4-x，∴9+y2=16-8x+x2，又由
x2
4
+
y2
3
=1，得y2=3-
3
4
x2．
∴9+3-
3
4
x2=16-8x+x2，∴
7
4
x2-8x+4=0．∴7x2-32x+16=0．
∴x=
4
7
或x=4．∵x∈（-2，2），∴x=
4
7
．∴P（
4
7
，±
3
15
7
）．
綜上，存在點P（
4
7
，±
3
15
7
），使得△PFM為等腰三角形．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓上點P(3
2
，4)到兩焦點的距離之和是12，則橢圓的標準方程是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

巳知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為
3
2
，且G上一點到G的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓G的方程為______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點G在橢圓上，
GF1
⊥
GF2
，且△GF1F2的面積為3，則橢圓的方程為______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點分別為F1（-1，0）、F2（1，0），右準線l交x軸于點A，且
AF1
=2
AF2
．
（Ⅰ）試求橢圓的方程；
（Ⅱ）過F1、F2分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點（如圖所示），試求四邊形DMEN面積的最大值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

若方程
x2
a2
+
y2
a+6
=1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數a的取值范圍是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在直角坐標系xoy中，點P到兩點(-
3
，0)，(
3
，0)的距離之和等于4，設點P的軌跡為C，直線y=kx+2與C交于不同的兩點A，B．
（1）寫出C的方程；
（2）求證：-1＜
OA
•
OB
＜
13
4
．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知A，B，P為橢圓
x2
m2
+
y2
n2
=1（m，n＞0）上不同的三點，且A，B連線經過坐標原點，若直線PA，PB的斜率乘積kPA•kPB=-2，則該橢圓的離心率為______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1，F(xiàn)1F2是它的兩個焦點，P是這個橢圓上任意一點，那么當|PF1|•|PF2|取最大值時，P、F1、F2三點（　　）
A．共線
B．組成一個正三角形
C．組成一個等腰直角三角形
D．組成一個銳角三角形

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