Question

寫出一個同時滿足下列條件的函數f（x）：如

f（x）=2cos（

1

2

x+π）+4

①f（x）＞0（x∈R）      ②f（x）為周期函數且最小正周期為T=4π    ③f（x）是R上的偶函數   
④f（x）是在（-4π，-2π）上的增函數  ⑤f（x）的最大值與最小值差不小于4．

Answer 1

分析：因為條件②涉及函數的周期性，條件③涉及函數的奇偶性，條件④涉及函數的增函數，在我們學習過的基本初等函數只有三角函數才同時具備滿足上述條件．

解答：解：由已知中各條件可分析余弦型函數f（x）=Acos（ωx+φ）+B滿足上述條件
∵⑤f（x）的最大值與最小值差不小于4．
故|A|≥2，令A=2
∵①f（x）＞0（x∈R） B-|A|＞1，令B=4
∵②f（x）為周期函數且最小正周期為T=4π，故|ω|=

1

2

，令ω=

1

2

∵③f（x）是R上的偶函數，在（-4π，-2π）上的增函數，φ=（2n+1）π，n∈Z，令n=0，則φ=π
綜上f（x）=2cos（

1

2

x+π）+4滿足要求
故答案為：f（x）=2cos（

1

2

x+π）+4（主觀題答案不唯一）

點評：本題考查的知識點是函數的周期性，函數的奇偶性，函數的周期性，函數的最值，熟練掌握三角函數的圖象和性質是解答的關鍵．