Question

(本小題滿分12分)
關于的函數與數列具有關系：
,(=1,2,3,…)(為常數)，又設函數的導數，為方程的實根.
（I）用數學歸納法證明：；
（II）證明：.

Answer 1

(Ⅰ)證明：當n=1,成立
假設時，成立.
,可見函數是單調遞增函數.
當n=k+1時，. n=k+1時命題成立。
綜上，對一切正整數n ,成立.                         ………6分
（Ⅱ）為證明，只需證明即可.
令， 
，，h(x)是單調減函數，而h(m)=m-f(m)=0
又 an>m ,h(an)=an-f(an)<0，所以.                        ………12分

略