Question

（本小題滿分14分）
已知函數．
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當時，討論的單調性.

Answer 1

（1） ；（2）當時，函數在上單調遞增；函數在上單調遞減；當時，函數在上單調遞增；
當時，函數在，上單調遞增；函數在上單調遞減

本試題主要是考查了導數的幾何意義的運用，以及函數單調性的判定的綜合運用。
（1）因為當時，，x∈(0，+∞)，
∴，，，進而得到切線方程。
（2）∵，
∴，x∈(0，+∞)，
令，x∈(0，+∞).，對于參數a分情況討論得到結論。
解：（1）當時，，x∈(0，+∞)， ……1分
∴，，，……4分
所以切線方程為 ……5分
（2）∵，
∴，x∈(0，+∞)，……7分
令，x∈(0，+∞).
① 當時，，x∈(0，+∞)，所以
當時，，此時，函數在上單調遞增；
當時，，此時，函數在上單調遞減；……9分
② 當時，由，解得，.
ⅰ）若，，即恒成立，函數在上單調遞增； ……11分
ⅱ）若，則，
當時，，此時，函數在上單調遞增；
當時，，此時，函數在上單調遞減；
當時，，此時，函數在上單調遞增；
……14分
綜上所述：當時，函數在上單調遞增；函數在上單調遞減；
當時，函數在上單調遞增；
當時，函數在，上單調遞增；函數在上單調遞減
……14分