Question

（2012•徐匯區一模）若(x+

1

2x

)n的展開式中前三項的系數依次成等差數列，則展開式中x⁴項的系數為

7

．

Answer 1

分析：依題意，

C

0 n

+

1

4

C

2 n

=2

C

1 n

×

1

2

，可求得n，由二項展開式的通項公式即可求得x⁴項的系數．

解答：解：∵(x+

1

2x

)n的展開式中前三項的系數依次成等差數列，
∴

C

0 n

+

1

4

C

2 n

=2

C

1 n

×

1

2

，
即n+

n(n-1)

8

=n，解得n=8或n=1（舍）．
設其二項展開式的通項為T_r+1，則T_r+1=

C

r 8

•x^8-r•(

1

2

)r•x^-r=

C

r 8

•(

1

2

)r•x^8-2r，
令8-2r=4得r=2．
∴展開式中x⁴項的系數為

C

2 8

•(

1

2

)2=28×

1

4

=7．
故答案為：7．

點評：本題考查二項式定理，通過等差數列的性質考查二項展開式的通項公式，考查分析與計算能力，屬于中檔題．