Question

已知數(shù)列滿足：是數(shù)列的前n項(xiàng)和.數(shù)列前n項(xiàng)的積為，且

（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）是否存在常數(shù)a,使得成等差數(shù)列？若存在，求出a，若不存在，說明理由；

（Ⅲ）是否存在，滿足對(duì)任意自然數(shù)時(shí)，恒成立，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）,；（Ⅱ）不存在；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由條件可得數(shù)列隔項(xiàng)成等差數(shù)列，從而分別得到n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式，合并即得數(shù)列的通項(xiàng)公式.再由數(shù)列前n項(xiàng)的積為，由再驗(yàn)證時(shí)的情況，即可得到的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）先求出的表達(dá)式，再假設(shè)成等差數(shù)列，由等差中項(xiàng)的知識(shí)，，代入發(fā)現(xiàn)等式恒不成立，從而得到不存在常數(shù)a 使數(shù)列成等差數(shù)列的結(jié)論；（Ⅲ）由上問可知即證明存在，滿足對(duì)任意自然數(shù)時(shí)，，易知存在m=4使得當(dāng)時(shí)，恒成立.接著用數(shù)學(xué)歸納法證明之.

試題解析：（Ⅰ）由題知，∴，∴

即數(shù)列隔項(xiàng)成等差數(shù)列，                           1分

又 

∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，                    2分

∴對(duì)一切               3分

又，當(dāng)時(shí)，且時(shí)滿足上式，

∴對(duì)一切                       5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，數(shù)列成等差數(shù)列，∴

∴     7分

若存在常數(shù)a，使得成等差數(shù)列，則在時(shí)恒成立

 即

 ∴不存在常數(shù)a 使數(shù)列成等差數(shù)列                 9分

（Ⅲ）存在使得當(dāng)時(shí)，恒成立，

即當(dāng)時(shí)，，下面用用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時(shí)，.

②假設(shè)時(shí)，成立，即.

則當(dāng)，，所以時(shí)，成立.

綜合①②得，成立.所以當(dāng)時(shí)，.     13分

考點(diǎn)：1.等差數(shù)列通項(xiàng)公式；2.等差中項(xiàng)；3.數(shù)學(xué)歸納法.