Question

（本小題16分）函數的定義域為{x| x ≠1}，圖象過原點，且．

（1）試求函數的單調減區間；

（2）已知各項均為負數的數列前n項和為，滿足，求證：

；

（3）設，是否存在，使得

？若存在，求出，證明結論；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由己知.

且

               

∴     

           于是

           由得或

           故函數的單調減區間為和  

（2）由已知可得，    

當時，

     兩式相減得

∴（各項均為負數）

當時，， ∴      

于是，待證不等式即為．

為此，我們考慮證明不等式

令則，

再令，     由知

∴當時，單調遞增    ∴   于是

即    　　　 ①

令，    由知

∴當時，單調遞增    ∴   于是

即　　　　 ②

由①、②可知  

所以，，即 

（3）.

     在中令2010，并將各式相加得

     

        即.