Question

如圖，在平面直角坐標系中，銳角α，β的終邊分別與單位圓交于AB兩點．
（Ⅰ）如果sinα=

3

5

，點B的橫坐標為

5

13

，求cos（α+β）的值；
（Ⅱ）已知點C（2

3

，-2），求函數f（α）=

OA

•

OC

的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由α為銳角，得到cosα的值大于0，由sinα的值，利用同角三角函數間的基本關系求出cosα的值，再由B的橫坐標，及單位圓半徑為1，利用三角函數定義求出cosβ的值，由β為銳角，得到sinβ的值大于0，由cosβ的值利用同角三角函數間的基本關系求出sinβ的值，將所求式子利用兩角和與差的余弦函數公式化簡后，把各自的值代入計算，即可求出值；
（Ⅱ）表示出兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則列出關系式，利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值確定出f（α），由α為銳角，求出這個角的范圍，利用余弦函數的圖象與性質求出余弦函數的值域，即可得出f（α）的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵α是銳角，sinα=

3

5

，
∴cosα=

1-sin2α

=

4

5

，
∵點B的橫坐標為

5

13

，單位圓半徑為1，
∴根據三角函數的定義，得cosβ=

5

13

，
又∵β是銳角，
∴sinβ=

1-cos2β

=

12

13

，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

4

5

×

5

13

-

3

5

×

12

13

=-

16

65

；
（Ⅱ）由題意可知，

OA

=（cosα，sinα），

OC

=（2

3

，-2），
∴f（α）=

OA

•

OC

=2

3

cosα-2sinα=4cos（α+

π

6

），
∵0＜α＜

π

2

，
∴

π

6

＜α+

π

6

＜

2π

3

，
∴-

1

2

＜cos（α+

π

6

）＜

3

2

，即-2＜f（α）＜2

3

，
∴函數f（α）的值域為（-2，2

3

）．

點評：此題考查了兩角和與差的余弦函數公式，平面向量的數量積運算法則，余弦函數的定義域與值域，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握公式是解本題的關鍵．