Question

設λ>0，點A的坐標為（1，1），點B在拋物線y=x²上運動，點Q滿足，經過點Q與x軸垂直的直線交拋物線于點M，點P滿足，求點P的軌跡方程。

Answer 1

解：由知Q，M，P三點在同一條垂直于x軸的直線上，
故可設P（x，y），Q（x，y₀），M（x，x²），
則x²-y₀=λ（y-x²），
即y₀=（1+λ）x²-λy  ①
再設B（x₁，y₁），由
即（x-x₁，y₀-y₁）=λ（1-x，1-y₀），
解得 ②
將①式代入②式，消去y₀，
得 ③
又點B在拋物線y=x²上，所以y₁=，再將③式代入y₁=
得（1+λ）²x²-λ（1+λ）y-λ=（（1+λ）x-λ）²，
（1+λ）²x²-λ（1+）y-λ=（1+λ）²x²-2λ（1+λ）x+λ²，
2（1+λ）x-λ（1+λ）y-λ（1+λ）=0
因λ>0，兩邊同除以λ（1+λ），得2x-y-1=0
故所求點P的軌跡方程y=2x-1。