Question

在三棱錐中，和是邊長為的等邊三角形，，分別是的中點．

（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求證：平面⊥平面；
（Ⅲ）求三棱錐的體積．

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

本題主要考查直線與平面平行的判定，以及平面與平面垂直的判定和三棱錐的體積的計算，體積的求解在最近兩年高考中頻繁出現，值得重視．
（1）欲證OD∥平面PAC，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證OD與平面PAC內一直線平行，而OD∥PA，PA?平面PAC，OD?平面PAC，滿足定理條件；
（2）欲證平面PAB⊥平面ABC，根據面面垂直的判定定理可知在平面PAB內一直線與平面ABC垂直，而根據題意可得PO⊥平面ABC；
（3）根據OP垂直平面ABC得到OP為三棱錐P-ABC的高，根據三棱錐的體積公式可求出三棱錐P-ABC的體積．
解：（Ⅰ）分別為的中點，
∥
又平面，平面
∥平面. ………………5分
（Ⅱ）連結，
，為中點，,
⊥，.
同理, ⊥，.
又,,
，⊥.
⊥,⊥,,
⊥平面.
又平面，平面⊥平面.…………………10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知垂直平面
為三棱錐的高，且
. …………………………14分