Question

已知(x2+

a

x

)6展開式中常數項為240，其中a是小于零的常數，則展開式中各項的系數之和是

 

．

Answer 1

分析：利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令通項中x的指數為0求出r的值，將r的值代入通項求出展開式的常數項，列出方程求出a的值，將a的值代入二項式中，令二項式中的x=1求出展開式中各項的系數之和．

解答：解：(x2+

a

x

)6展開式的通項為T_r+1=a^rC₆^rx^12-3r
令12-3r=0得r=4
∴展開式的常數項為a⁴C₆⁴=15a⁴
∴15a⁴=240
∵a是小于零的常數
∴a=-2
∴(x2+

a

x

)6=(x2-

2

x

)6
令二項式中的x=1得到展開式中各項的系數之和是1
故答案為：1

點評：解決二項展開式的特定項問題常利用的工具是二項展開式的通項公式；求二項展開式的系數和問題，一般通過觀察給二項式中的未知數賦值．