Question

已知cos(

π

4

+α)=

3

5

，

π

2

≤α＜

3π

2

，求

1-cos2α+sin2α

1-tanα

的值．

Answer 1

分析：先把所求的式子利用三角函數的基本公式化簡，再由兩角和的余弦把條件展開，求出“cosα-sinα”，通過平方利用同角三角函數的基本關系式，求sin2α，利用角的范圍和平方關系即可求出sinα+cosα的值，代入化簡后的式子求值．

解答：解：

1-cos2α+sin2α

1-tanα

=

2sin2α+2sinαcosα

1- sinα cosα

=

2sinαcosα(sinα+cosα)

cosα-sinα

=

sin2α(sinα+cosα)

cosα-sinα

，
由cos(

π

4

+α)=

3

5

得，

2

2

(cosα-sinα)=

3

5

，
即cosα-sinα=

3 2

5

，兩邊平方得，1-sin2α=

18

25

，
得sin2α=

7

25

，
∵

π

2

≤α＜

3π

2

，∴cosα+sinα＜0，
∴cosα+sinα=-

1+sin2α

=-

4 2

5

，
∴

1-cos2α+sin2α

1-tanα

=

7 25 ×(- 4 2 5 )

3 2 5

=-

28

75

．

點評：、本題考查三角函數的基本公式、切化弦，“sin2α，sinα±cosα三者的關系”的靈活應用，解題的關鍵是由角的范圍判斷式子的范圍，這種類型題解法靈活，關鍵靈活運用公式．