Question

（本題滿分16分；第（1）小題5分，第（2）小題5分，第（3）小題6分）
設、為坐標平面上的點，直線（為坐標原點）與拋物線交于點(異于).
（1）      若對任意，點在拋物線上，試問當為何值時，點在某一圓上，并求出該圓方程；
（2）      若點在橢圓上，試問：點能否在某一雙曲線上，若能，求出該雙曲線方程，若不能，說明理由；
（3）      對（1）中點所在圓方程，設、是圓上兩點，且滿足，試問：是否存在一個定圓，使直線恒與圓相切.

Answer 1

（1）（2）（3）

（1），-----------------------------------------------------2分
代入----------------------------------  4分
當時，點在圓上-------------------------------------------5分
（2）在橢圓上，即
可設------------------------------------------------------------------------7分
又，于是
（令）
點在雙曲線上--------------------------------------------------------------------10分
（3）圓的方程為
設由
 ----------------------------------------------------------------------------------------------12分
又
，------------14分
又原點到直線距離 ，即原點到直線的距離恒為
直線恒與圓相切。---------------------------------------------------------16分