Question

我們把形如y=

b

|x|-a

(a＞0，b＞0)的函數稱為“莫言函數”，并把其與y軸的交點關于原點的對稱點稱為“莫言點”，以“莫言點”為圓心，凡是與“莫言函數”圖象有公共點的圓，皆稱之為“莫言圓”．當a=1，b=1時，在所有的“莫言圓”中，面積的最小值

3π

．

Answer 1

分析：根據已知中關于“莫言函數”，“莫言點”，“莫言圓”的定義，利用a=1，b=1，我們易求出“莫言點”坐標，并設出“莫言圓”的方程，根據兩點的距離公式求出圓心到“莫言函數”圖象上點的最小距離，即可得到結論．

解答：解：當a=1且b=1時，函數“莫言函數”為y=

1

|x|-1

圖象與y軸交于（0，-1）點，則“莫言點”坐標為（0，1）．
令“莫言圓”的標準方程為x²+（y-1）²=r²，
令“莫言圓”與函數y=

1

|x|-1

圖象的左右兩支相切，
則可得切點坐標為（

1+ 5

2

，

1+ 5

2

）和（-

1+ 5

2

，

1+ 5

2

），
此時“莫言圓”的半徑r=

( 1+ 5 2 )2+( 1+ 5 2 )2

=

3

；
令“莫言圓”與函數y=

1

|x|-1

圖象的下支相切，此時切點坐標為（0，-1）．
此時“莫言圓”的半徑r=2；
故所有的“莫言圓”中，面積的最小值為3π．
故答案為：3π．

點評：本題給出“莫言函數”、“莫言點”、“莫言圓”的定義，求圓的最小面積．著重考查了函數的圖象、圓的方程、兩點的距離公式與圓面積求法等知識，屬于中檔題．