Question

已知函數, 其中且

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）設函數 （e是自然對數的底數），是否存在a，使g(x)在[a,-a]上是減函數？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）的定義域為，

（1）若-1<a<0,則當0<x<-a時，；當-a <x<1時，；當x>1時，.故分別在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）若a<-1,仿（1）可得分別在上單調遞增，在上單調遞減.

 （Ⅱ）存在a，使g(x)在[a,-a]上是減函數.

事實上，設，則

，再設，則當g(x)在[a,-a]上單調遞減時，h(x)必在[a,0]上單調遞,所以，由于，因此，而，所以，此時，顯然有g(x)在[a,-a]上為減函數，當且僅當在[1,-a]上為減函數，h(x)在[a,1上為減函數,且，由（Ⅰ）知，當a<-2時，在上為減函數 ①

又    ②

不難知道，

因，令，則x=a或x=-2,而

于是 （1）當a<-2時，若a <x<-2,則，若-2 <x<1,則,因而分別在上單調遞增，在上單調遞減；

     （2）當a＝-2時， ,在上單調遞減.

綜合（1）（2）知，當時，在上的最大值為，所以，    ③

又對，只有當a=-2時在x=-2取得，亦即只有當a=-2時在x=-2取得.

因此，當時，h(x)在[a,1上為減函數，從而由①，②，③知

綜上所述，存在a，使g(x)在[a,-a]上是減函數，且a的取值范圍為.