Question

（理）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，點 E在線段PC上，設

PE

EC

=λ，PA=AB．
（I）證明：BD⊥PC；
（Ⅱ）當λ為何值時，PC⊥平面BDE；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角B-PC-A的平面角大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證BD⊥PC，只要證BD垂直于PC所在的平面PAC即可，由已知底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，利用線面垂直的判定即可得證；
（Ⅱ）由PC⊥平面BDE，得到PC⊥OE，利用直角三角形相似即可求出EC，從而求得λ的值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知∠BEO為二面角B-PC-A的平面角，直接解直角三角形即可得到答案．

解答：（Ⅰ）證明，如圖，
∵底面ABCD為正方形，∴AC⊥BD，又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD
∵PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC，∴BD⊥PC；
（Ⅱ）解：若PC⊥平面BDE，則PC⊥OE，
∴△PAC∽△OEC，
∵底面ABCD為正方形，PA=AB，
設PA=AB=a，則AC=

2

a，OC=

2

2

a，PC=

a2+2a2

=

3

a．
∴

AC

PC

=

EC

OC

，即

2 a

3 a

=

EC

2 2 a

，∴EC=

3

3

a．
則λ=

PE

EC

=

PC-EC

EC

=

2 3 3 a

3 3 a

=2．
所以，當λ等于2時，PC⊥平面BDE；
（Ⅲ）解：當PC⊥平面BDE時，∠BEO為二面角B-PC-A的平面角，
在Rt△CEO中，OE=

OC2-EC2

=

( 2 2 a)2-( 3 3 a)2

=

6

6

a．
在Rt△BOE中，tan∠BEO=

BO

OE

=

2 2 a

6 6 a

=

3

．
所以∠BEO=

π

3

．

點評：本題考查了直線與平面垂直的判定與性質，考查了二面角的平面角的求法，考查了學生的空間想象和思維能力，是中檔題．