Question

（16分）已知函數是定義在上的奇函數，且當時，．
（1）當時，求函數的解析式；
（2）若函數為單調遞減函數；
①直接寫出的范圍（不必證明）；
②若對任意實數，恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1） ；（2）。

本試題主要是考查了抽象函數的解析式的求解和單調性的證明以及解不等式。
（1）因為當時，，又因為為奇函數，所以，進而得到解析式。
（2）根據函數單調性，對于參數a分為正負來討論得到取值范圍。
（3）因為，∴
所以是奇函數，∴，而又因為為上的單調遞減函數，所以恒成立，分離參數的思想得到范圍。
（1）當時，，又因為為奇函數，
所以
所以                    …………………………6分
（2）①當時，對稱軸，所以在上單調遞減，
由于奇函數關于原點對稱的區間上單調性相同，所以在上單調遞減，
又在上，在上，
所以當a0時，為R上的單調遞減函數
當a>0時，在上遞增，在上遞減，不合題意
所以函數為單調函數時，a的范圍為a………………………………………….10分
②因為，∴
所以是奇函數，∴           …………………………12分
又因為為上的單調遞減函數，所以恒成立，…………………14分
所以恒成立， 所以 …………………………16分