Question

對兩個實數x，y，定義運算“*”，x*y=1+x+y．若點P（x*y，（-x）*y）在第四象限，點Q（x*y，（-x）*（3-x+y））在第一象限，當P，Q變動時動點M（x，y）形成的平面區域為Ω，則使{（x，y）|（x-1）²+（y+1）²＜r²（r＞0）}⊆Ω成立的r的最大值為（　　）

• A．

  2

• B．

  5

• C．

  5

  5

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：由題意可得

1+x+y＞0 1-x+y＜0 4-2x+y＞0

，動點M形成的區域Ω，如圖所示．則圓心E（1，-1）到三條直線的距離分別為d₁，d₂，d₃，而要滿足使{（x，y）|（x-1）²+（y+1）²＜r²（r＞0）}⊆Ω成立的r的最大值，則應取三個數中d₁，d₂，d₃的最小值即可．

解答：解：由題意可得

1+x+y＞0 1-x+y＜0 4-2x+y＞0

，動點M形成的區域Ω，如圖所示．
則圓心E（1，-1）到三條直線的距離分別為d1=

1

2

=

2

2

，d2=

1

2

=

2

2

，d3=

1

5

=

5

5

．
而使{（x，y）|（x-1）²+（y+1）²＜r²（r＞0）}⊆Ω成立的r的最大值={

2

2

，

5

5

}中的最小值，
因此r=

5

5

．
故選C．

點評：正確理解新定義和掌握線性規劃的有關知識、直線與圓相切的性質、點到直線的距離公式等是解題的關鍵．