Question

（2013•鎮江二模）如圖，設A，B分別為橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右頂點和上頂點，過原點O作直線交線段AB于點M（異于點A，B），交橢圓于C，D兩點（點C在第一象限內），△ABC和△ABD的面積分別為S₁與S₂．
（1）若M是線段AB的中點，直線OM的方程為y=

1

3

x，求橢圓的離心率；
（2）當點M在線段AB上運動時，求

S1

S2

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由中點坐標公式求出A，B的中點M，把M坐標代入直線y=

x

3

得到a與b的關系，結合a²=b²+c²可求橢圓的離心率；
（2）設出C和D點的坐標，求出直線AB的方程，由點到直線的距離公式求出C和D到直線AB的距離，因為△ABC和△ABD同底，所以把兩個三角形的面積比轉化為C，D到直線AB的距離比，然后借助于基本不等式求最小值．

解答：解：（1）由題設，得A（a，0），B（0，b），則點M（

a

2

，

b

2

）．
因為點M在直線y=

x

3

上，所以

b

2

=

a 2

3

，則b=

a

3

．
從而c=

a2-b2

=

a2- a2 9

=

2 2 a

3

，
故橢圓的離心率e=

c

a

=

2 2

3

．
（2）設C（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），則

x02

a2

+

y02

b2

=1，D（-x₀，-y₀）．
由題設，直線AB的方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0．
因為點C在直線AB的上方，
所以點C到直線AB的距離hc=

|bx0+ay0-ab|

a2+b2

=

bx0+ay0-ab

a2+b2

．
同理可得點D到直線AB的距離hD=

|-bx0-ay0-ab|

a2+b2

=

|bx0+ay0+ab|

a2+b2

=

bx0+ay0+ab

a2+b2

．
因為

x02

a2

+

y02

b2

=1，即b2x02+a2y02=a2b2，且bx₀＞0，ay₀＞0．
所以bx0+ay0≤2

b2x02+a2y02 2

=2

a2b2 2

=

2

ab．
當且僅當bx₀=ay₀時等號成立．
由

b2x02+a2y02=a2b2 bx0=ay0

，得

x0= 2 2 a y0= 2 2 b

．
因此，

S1

S2

=

hC

hD

=

bx0+ay0-ab

bx0+ay0+ab

=1-

2ab

bx0+ay0+ab

≤1-

2ab

2 ab+ab

=3-2

2

．
所以，當

x0= 2 2 a y0= 2 2 b

時，

S1

S2

取得最大值，最大值為3-2

2

．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了直線與圓錐曲線的關系，突出考查了數形結合和等價轉化等數學思想方法，解答此題的關鍵是運用線性規劃的知識去掉點到直線的距離中的絕對值．屬難題．