Question

（本小題滿分14分）已知函數，其中
（Ⅰ）求在上的單調區間；
（Ⅱ）求在（為自然對數的底數）上的最大值；
（III）對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點、，使得是以原點為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？

Answer 1

(1)在上的單調減區間為， ：單調增區間為 
(2)在上的最大值為2
(3) 對任意給定的正實數，曲線上存在兩點，使得△是以為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上

試題分析：（Ⅰ）因為
當時，，
解得到；解得到或．所以在上的單調減區間為， ：單調增區間為     ………………4分
（Ⅱ）①當時，由（Ⅰ）知在和上單調遞減，在上單調遞增，從而在處取得極大值．
又，所以在上的最大值為2．……………………6分
②當時，，當時，在上單調遞增，所以在上的最大值為．所以當時，在上的最大值為；當時，在上的最大值為2.                             …………………………8分
（Ⅲ）假設曲線上存在兩點，使得是以為直角頂點的直角三角形，則只能在軸的兩側，不妨設，則，且． …9分
因為是以為直角頂點的直角三角形，所以，
即：（1）             ……………………………………10分
是否存在點等價于方程（1）是否有解．
若，則，代入方程（1）得：，此方程無解.…11分
若，則，代入方程（1）得到：             ……12分
設，則在上恒成立．所以在上單調遞增，從而，即有的值域為（不需證明），所以當時，方程有解，即方程（1）有解．
所以，對任意給定的正實數，曲線上存在兩點，使得△是以為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上．       …………………14分
點評：研究函數中的單調性以及最值問題，一般運用導數的思想，結合導數的符號來判定，進而確定結論，屬于中檔題。