Question

設函數f(x)的定義域D關于原點對稱，0∈D，且存在常數a>0，使f(a)=1，又，
（1）寫出f(x)的一個函數解析式，并說明其符合題設條件；
（2）判斷并證明函數f(x)的奇偶性；
（3）若存在正常數T，使得等式f(x)=f(x+T)或者f(x)=f(x-T)對于x∈D都成立，則都稱f(x)是周期函數，T為周期；試問f(x)是不是周期函數？若是，則求出它的一個周期T；若不是，則說明理由。

Answer 1

（1）見解析（2）奇函數（3）見解析

（1）取f(x)=tanx，定義域為{x∣x≠kπ+，k∈Z}關于原點對稱，且0∈D；
且存在常數使得f(a)=tana=1；
又由兩角差的正切公式知，符合。                         ……4分
（2）f(x)是D上的奇函數；證明如下：f(0)=0，取x₁=0，x₂=x，由，
得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是D上的奇函數；                                                         ……4分
（3）考察f(x)=tanx的最小正周期T=π=4a，可猜測4a是f(x)的一個周期。
證明：由已知，則
，
。
所以f(x)是周期函數，4a是f(x)的一個周期。                                                 ……7分