Question

已知函數f(x)=

1+x

+

1-x

．（1）求函數f（x）的值域；（2）設F(x)=m

1-x2

+f(x)，記F（x）的最大值為g（m），求g（m）的表達式．

Answer 1

分析：（1）先求出函數f（x）的定義域，求出f（x）²的取值范圍，再由f（x）≥0，求得f（x）的值域．
（2）設f（x）=t，g（m）即為函數h(t)=

1

2

mt2+t-m，t∈[

2

，2]的最大值．分m＞0、m=0、m＜0三種情況，結合函數的圖象特征，利用函數的單調性求出g（m）的表達式．

解答：解：（1）要使f（x）有意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1，∵[f(x)]2=2+2

1-x2

∈[2，4]，f（x）≥0，∴f（x）的值域是[

2

，2]．
（2）設f（x）=t，則

1-x2

=

1

2

t2-1，∴F(x)=m(

1

2

t2-1)+t=

1

2

mt2+t-m，t∈[

2

，2]．
由題意知g（m）即為函數h(t)=

1

2

mt2+t-m，t∈[

2

，2]的最大值，
因為直線t=-

1

m

是拋物線h(t)=

1

2

mt2+t-m的對稱軸，所以可分以下幾種情況進行討論：
①當m＞0時，函數y=h(t)，t∈[

2

，2]的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由t=-

1

m

＜0知h（t）在[

2

，2]上單調遞增，故g（m）=h（2）=m+2．
②當m=0時，h（t）=t在[

2

，2]上單調遞增，有g（m）=h（2）=m+2=2．
③當m＜0時，函數y=h(t)，t∈[

2

，2]的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若t=-

1

m

∈(0，

2

]，即m≤-

2

2

時，g(m)=h(

2

)=

2

．
若t=-

1

m

∈(

2

，2]，即m∈(-

2

2

，-

1

2

]時，g(m)=h(-

1

m

)=-m-

1

2m

，
若t=-

1

m

∈(2，+∞)，即m∈(-

1

2

，0)時，g（m）=h（2）=m+2，
綜上所述，g(m)=

m+2，m＞- 1 2 -m- 1 2m ，- 2 2 ＜m≤- 1 2 2 ，m≤- 2 2 .

．

點評：本題主要考查求函數的值域，求二次函數在閉區間上的最值，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．