Question

設雙曲線C：

x2

2

-y²=1的左、右頂點分別為A₁、A₂，垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點P、Q．
（1）若直線m與x軸正半軸的交點為T，且

A1P

•

A2Q

=1，求點T的坐標；
（2）求直線A₁P與直線A₂Q的交點M的軌跡E的方程；
（3）過點F（1，0）作直線l與（2）中的軌跡E交于不同的兩點A、B，設

FA

=λ•

FB

，若λ∈[-2，-1]，求|

TA

+

TB

|（T為（1）中的點）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出P、Q的坐標，求得向量的坐標，利用

A1P

•

A2Q

=1，P（x₀，y₀）在雙曲線上，即可求得結論；
（2）利用三點共線建立方程，利用P（x₀，y₀）在雙曲線上，即可求得軌跡方程；
（3）用坐標表示

TA

+

TB

，利用韋達定理，求得模長，從而可得函數關系式，進而可求其范圍．

解答：解：（1）由題，得A₁（-

2

，0），A₂（

2

，0），
設P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），則

A1P

=(x0+

2

，y0)，

A2Q

=(x0-

2

，-y0)
由

A1P

•

A2Q

=1，可得

x

2 0

-

y

2 0

=3 …①
又P（x₀，y₀）在雙曲線上，則

x 2 0

2

-

y

2 0

=1   …②
聯立①、②，解得x₀=±2  
由題意，x₀＞0，∴x₀=2
∴點T的坐標為（2，0）
（2）設直線A₁P與直線A₂Q的交點M的坐標為（x，y）
由A₁、P、M三點共線，得(x0+

2

)y=y0(x+

2

)   …③
由A₂、Q、M三點共線，得(x0-

2

)y=-y0(x-

2

)   …④
聯立③、④，解得x₀=

2

x

，y₀=

2 y

x

 
∵P（x₀，y₀）在雙曲線上，∴

( 2 x )2

2

-(

2 y

x

)2=1
∴軌跡E的方程為

x2

2

+y2=1（x≠0，y≠0）
（3）由題意直線l的斜率不為0．故可設直線l的方程為x=ky+1代入

x2

2

+y2=1中，得（k²+2）y²+2ky-1=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由根與系數的關系，得y₁+y₂=

-2k

k2+2

  …⑤y₁y₂=

-1

k2+2

  …⑥
∵

FA

=λ

FB

，∴有

y1

y2

=λ（λ＜0）
將⑤式平方除以⑥式，得

y1

y2

+

y2

y1

+2=-

4k2

k2+2

，即λ+

1

λ

+2=-

4k2

k2+2

，
由λ∈[-2，-1]，可得λ+

1

λ

+2≤0
∴-

-4k2

k2+2

≤0，∴0≤k2≤

2

7

∵

TA

+

TB

=（x₁+x₂-4，y₁+y₂）
∴|

TA

+

TB

|2=（x₁+x₂-4）²+（y₁+y₂）²=16-

28

k2+2

+

8

(k2+2)2

令t=

1

k2+2

，∵0≤k2≤

2

7

，∴

7

16

≤

1

k2+2

≤

1

2

，即t∈[

7

16

，

1

2

]
∴|

TA

+

TB

|2=f（t）=8t²-28t+16=8（t-

7

4

）²-

17

2

而t∈[

7

16

，

1

2

]，∴f（t）∈[4，

169

32

]
∴|

TA

+

TB

|∈[2，

13 2

8

]．

點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．